\chapter{1994年,Shor量子质因数分解算法推导与分析}
	
	\begin{abstract}
		本文详细推导了Peter Shor于1994年提出的量子质因数分解算法。该算法通过量子傅里叶变换和模幂周期查找，将质因数分解问题转化为可多项式时间解决的量子计算问题。文章完整呈现了从数论基础到量子电路实现的全过程，并分析了算法的计算复杂度。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	质因数分解的经典算法复杂度随输入规模呈指数增长，而Shor算法利用量子并行性和干涉效应，将复杂度降至多项式级别。该算法包含经典预处理和量子计算两部分：
	
	\begin{equation}
		\text{质因数分解} \rightarrow \text{阶查找问题} \rightarrow \text{量子傅里叶变换}
	\end{equation}
	
	\section{数论基础}
	\subsection{问题转化}
	给定合数$N$，随机选取$a<N$且$\gcd(a,N)=1$，寻找最小正整数$r$使得：
	\begin{equation}
		a^r \equiv 1 \ (\text{mod} \ N)
	\end{equation}
	若$r$为偶数且$a^{r/2} \not\equiv -1 \ (\text{mod} \ N)$，则：
	\begin{equation}
		\gcd(a^{r/2} \pm 1, N)
	\end{equation}
	给出$N$的非平凡因子。
	
	\section{量子算法推导}
	\subsection{量子寄存器初始化}
	准备两个寄存器：
	\begin{equation}
		|0\rangle^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes m}
	\end{equation}
	其中$n \sim \log_2 N$, $m \sim \log_2 N^2$
	
	\subsection{量子并行计算}
	应用Hadamard门和模幂运算：
	\begin{equation}
		\frac{1}{\sqrt{Q}}\sum_{x=0}^{Q-1}|x\rangle|a^x \ \text{mod} \ N\rangle
	\end{equation}
	$Q=2^q$为周期估计精度。
	
	\subsection{量子傅里叶变换}
	对第一寄存器应用QFT：
	\begin{equation}
		\text{QFT}_Q|x\rangle = \frac{1}{\sqrt{Q}}\sum_{k=0}^{Q-1}e^{2\pi i xk/Q}|k\rangle
	\end{equation}
	
	\subsection{周期提取}
	测量第一寄存器得到$k$，通过连分数展开逼近$s/r$：
	\begin{equation}
		\left|\frac{k}{Q} - \frac{s}{r}\right| \leq \frac{1}{2Q}
	\end{equation}
	
	\section{量子电路实现}
	\begin{algorithm}
		\caption{Shor算法量子电路}
		\begin{algorithmic}[1]
			\State 初始化$|0\rangle^{\otimes 2n}|1\rangle$
			\State 应用Hadamard门$H^{\otimes n}$
			\State 实现模幂运算$U_{a,N}|x\rangle|y\rangle = |x\rangle|y \oplus a^x \ \text{mod} \ N\rangle$
			\State 应用逆量子傅里叶变换$\text{QFT}^{\dagger}$
			\State 测量第一寄存器
			\State 经典后处理获取周期
		\end{algorithmic}
	\end{algorithm}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
%		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{shor_circuit}
		\caption{Shor算法量子电路示意图}
	\end{figure}
	
	\section{复杂度分析}
	\begin{itemize}
		\item 量子部分：$O((\log N)^3)$
		\item 经典部分：$O((\log N)^2 \log \log N \log \log \log N)$
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	Shor算法通过量子特性实现了质因数分解的指数级加速，为量子计算的重要里程碑。其核心在于将数论问题转化为可量子处理的周期查找问题，并通过量子傅里叶变换高效解决。
	
	\bibliographystyle{plain}
	\bibliography{references}
	